(1) Travail sur les hauteurs

Dans un repère orthonormé \(\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)\), on considère les points \(\text A (1;1)\), \(\text B (1;-5)\) et \(\text C (6;4)\) formant ainsi le triangle \(\text{ABC}\).

1. Montrer que l'équation réduite de la droite \((\text{AB})\) est \(x=1\).

2. Montrer que le coefficient directeur de la droite \((\text{AC})\) est \(m_1 = \dfrac{3}{5}\).

3. Calculer le coefficient directeur \(m_2\) de la droite \((\text{BC})\).

4. Justifier que l'équation réduite de la hauteur \(h_1\) issue de \(\text C\) est \(y=4\).

On donne la propriété suivante.

Propriété
On se place dans un repère orthonormé. On considère deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées et de coefficients directeurs \(m\) et \(m^{\prime}\). Ces deux droites sont perpendiculaires si et seulement si  : \(\boxed{m \times m^{\prime} = -1}\).

5. a. À l'aide de la propriété, déterminer le coefficient directeur \(m_3\) de la hauteur \(h_2\) issue de \(\text B\).
    b. En utilisant les coordonnées du point \(\text B\), en déduire que l'équation réduite de la hauteur \(h_2\) est \(y=-\dfrac{5}{3}x-\dfrac{10}{3}\).

6. Montrer de même que l'équation réduite de la hauteur \(h_3\) issue de \(\text A\) est \(y=-\dfrac{5}{9}x+\dfrac{14}{9}\).

7. Déterminer les coordonnées de \(\text H\) , point d'intersection des hauteurs \(h_1\) et \(h_2\).

8. Vérifier que le point \(\text H\) appartient également à la hauteur \(h_3\).

Conclusion : le point \(\text H\) est appelé orthocentre du triangle \(\text {ABC}\).